근로계약과 다른 업무를 회사에서 시킬 때 권고사직 요청 가능한지

회사에 출근한지 3개월이 되었습니다.

이 회사에 마케팅 업무 인력이 필요하여 해당 업무로 면접요청이 들어와서 면접을 보았고,
해당 업무를 담당하는 것으로 근로계약서를 작성하였습니다.

1개월 정도는 해당 업무를 했지만, 그 이후부터 지금까지는 계속 회사에서 수주한 큰 사업때문에 사무 보조, 기타 잡무를 하고 있습니다.

이 건으로 지난 달 8월에 대표님과 상의를 했었고, 회사에서 다른 큰 사업이 진행되고 있어서
제가 담당한 업무를 잠시 중지해야할 것 같다고 하시더군요.

그러시면서 제가 담당한 업무가 계속 중지되어있는데 9월까진 그러지 않을 것 같다, 9월엔 본 업무 할수있도록 해주겠다고 하셨거든요

하지만 9월 중반이 지난 지금도 계속 잡무만 하고, 9월 내내 이럴 것 같고, 대표가 구두상 말한 약속이 지켜질 것 같아보이진 않습니다.

사실 이 회사가 마케팅 관련해서 처음 시작하는데, 주력사업 때문에 이쪽 사업을 제대로 할 수나 있을런지 의문이고, 할 생각이 있는건지 싶고 합니다. 

10월까지도 달라지는게 없다면 대표에게 권고사직 요청을 할 생각입니다.
회사에서 마케팅부서를 키울 수도 없는 상황인 것 같고, 근로자는 계약한 내용과 다른 업무만 하고 있고요.
또한 8월에 구두상으로도 9월내로는 업무 진행할 수 있게금 해준다고 했으나 불이행했고요.
대표와 8월에 이야기할 때 퇴사 의사를 밝힐 수도 있었는데, 9월까지는 이런 상황이 지속되지 않을거라고 해서 기다려줬지만
기다렸음에도 불구하고 달라진 게 없기 때문에 제 시간은 시간대로 잡아먹은 거구요.
빨리 퇴사하고 다른 회사에 입사해서 해당 업무에 대한 커리어를 쌓을 수 있었을 시간이었는데 잡무로 시간만 허비한거구요.

제가 찾아본 바로는 근로계약상 업무내용과 다른 업무들을 주되게 지시했다면 근로계약 위반으로 근로기준법 제 19조에 따라 즉시 근로 계약 해지를 할 수 있다는 내용이었는데요

제가 궁금한건 2가지 입니다.

1.즉시 근로 계약 해지 뿐 아니라 위와 같은 사유로 회사에 권고사직 요청을 할 수 있는지
2.불가하다면 제 시간에 대한 보상이나 소송이 가능한지 답변 부탁드립니다.