퇴사자가 직접 후임자를 뽑아야 하는건가요?

안녕하세요?

퇴사를 앞두고 있는 사람입니다. 최초 계약상에는 후임자를 제가 뽑아야한다고 되어 있지 않았는데,

사용자는 구인할 생각을 하지 않고, 퇴사를 한다고 따돌림을 시키고 불이익을 주고 있습니다. 안좋은 소문도 제가 알게 내고 있습니다.

제가 10월 1일에 퇴사하겠다고 1개월 이전에 미리 말을 했다면, 10월 1일에 퇴사를 해도 법적으로 아무런 문제가 없는것인가요?

현재 하는 일은 언어치료사입니다. 원장 밑에 치료사가 있고, 각각 여러명의 아동을 치료하는 방식입니다.

어디 물어볼곳도 없어서 이렇게 질문드립니다...