인수인계 한달 전에 퇴사하면 손해배상 물어야 하나요?

노동조합은 몰라서 그냥 없음 체크 했습니다.

10인 미만 사업장에 근무중인데요.
처음에 알바로 지원하였으나, 수습기간없이 제 의사없이
사대보험 가입통보를 받고 정직원으로 근무하게 되었습니다.
근로계약서는 작성하지 않았구요.
사수가 제대로 인수인계를 하지않아, 스스로 알아보며
다닌지 이제 4개월쯤 되었습니다.
사수없이 일하기 너무 힘들어서 그만두겠다고 말씀을 드렸습니다.
사직서 문서로 제출하는지 몰랐어서 그건 하지않았구요 .
인수인계를 다른 이에게 하려했으나 못하게하여 하지못하고,
(새로오는 분에게 하라고해서 못했습니다.)
말하고 일주일정도 지났으나 전혀 사람을 뽑는 모습도 없고하여
일주일뒤 퇴사하겠다고 통보하였습니다.

그랬더니 노무사랑 얘기해 처리하겠다며, 인수인계 한달을
채우지 않았다고 협박을 하네요.

사람이 뽑히지 않아 결국 얘기끝에 근무하는 분에게
인수인계를 늦게 시작하여, 실질적으로 인수인계는
이삼일정도만 하게될거 같습니다.
그래서 이에관해 검색해보니 회사가 손해배상청구를 할 수도
있다는데, 그게 정말인가요??

솔직히 저도 아예 모르는 상태로 일을 시작한거고,
겨우 네달 일했으며, 알려주는 이 없이 스스로가 쌓아온 업무인데
이걸 한달동안 인수인계 안했다고 손해배상청구나 징계를 받으면
진짜 억울할거 같습니다.
약 한달은 초과근무수당도 안받고 최저월급 받고 일했는데....

사무직이 처음이라
잘 몰라서 사직서 작성도 안했는데...

지금 상황에서
회사측에서 제에게 손해배상 청구를 할 수 있나요??




인수인계를 꼭 한달 채워야하는건가요?