이직사유 정정이 타당할지요...?

실직적인 퇴사 사유는 육아 양육 문제였으나,
회사와 협의하에 실업급여 신청 사유는 질병으로 신청하였습니다.
그러나 사정이 생기어 육아문제로 다시 변경하여 실업급여를 신청할 수 있을까요?

사유는...
디스크 증세로 인하여 5일간 입원치료를 받다가 정확한 진단을 위하여 MRI 를
찍어야 했는데 물리치료만 계속 받았습니다.
회사에 병가를 1개월 신청하여 치료를 받은 후 다시 출근을 하려 하였으나
시부모님께서 아이를 더 이상 맡아 주실 수가 없다고 하시어
회사를 계속 다닐 수가 없게 되었습니다.
회사를 그만 둘때는 육아문제로 그만 둔다고 이야기 하였으나
실업급여 신청은 사유는 질병으로 하는 것이 좋을 것 같다고 하여
질병으로 기재하였습니다.

병원측에서는 정확한 진단을 위해서 MRI를 찍어야만
소견서를 작성할 수 있다고 하여
소견서는 현재 받을 수 있는 상황은 아닙니다.

하지만 실직적인 퇴사 사유인 육아문제는 현재도 동일한 상황인데
육아로 인한 사유로 변경하여 실업급여를 신청할 수 있나요?
고용안정센터에 이직사유를 정정 신청하면 되는 건가요?