실업급여 청구 절차를 알고 싶습니다.

안녕하세요
소금 하역 작업을 하다가 허리를 다쳐
디스크를 앓게 되었습니다.
제 본업무인 원료 하역작업과 관리를 할수 없게 되어
9월 30일자로 퇴직하였습니다

오늘 고용안정센터에서
고용보험피보험자격 상실 확인통지서가 e-mail로 왔습니다.
자격 상실 확인 : 상실사유에 질병, 부상, 노령등 으로 표기되어 있네요

근데 이상한것은 저는 9월 30일자로 사직했고
10월 1일날까지 출근하여 월말 결산을 마무리 해주고 왔습니다.

고용보험 피보험기간이 2003/11/24 ~ 2008/09/29
으로 나옵니다 왜 보험기간이 9월 30일까지 안나오고 29일까지 나오는지
이해가 안갑니다.
그래서 고용보험 홈페이지 들어가서 고용보험 피보험자격 이력 내역서를
뽑아보니 거기에는 상실일이 9월 30일로 나옵니다.
결국 가입기간은 9월 29일까지이고 30일자 상실인셈인데요
이렇게 하는게 맞는것인가요?

제가 그만두면서 회사 경리업무를 하는 직원이 바꼈는데 업무 미숙으로
이렇게 처리한것인지 이렇게 처리한게 맞는것인지 모르겠습니다.

내일 고용안정센터에 가보려고 하는데요

실업급여를 받기 위한 절차를 알고 싶습니다.

많은 질문에 바쁘시겠지만 답변해주시면 고맙습니다.

p.s 고용보험과 상관없지만 아직 의료보험은 상실신고가 안들어 간거 같은데
    상실신고가 들어갈때까지 기존 직장 의료보험증을 계속사용할수 있는지 혹 아시면
    알려주세요. 허리치료를 계속해야 하는데 보험상실이 되면 곤란한 지경이라서요...