회사의 퇴사처리 지연으로 인한 4대보험 처리와 실업급여 문제

안녕하세요? 카페 프랜차이즈 사업을 하는 본사에서 직영하는 매장에 알바 직원으로 10개월간 근무를 했습니다.

별도의 근로계약서는 작성을 하지 않았고 2019년 4월부터 2020년 1월까지, 하루 6시간, 월 80만원의 임금을 받는 조건으로 근무를 했습니다. 올해 1월까지 근무를 했고, 회사에서 4대보험도 가입을 해서 근무기간 동안 저도 보험료를 납부를 했습니다.

2월부터는 당연히 근무를 하지 않았기에 퇴사 처리가 된 것으로 생각을 했으나 최근에 실업급여를 신청하기 위해 조회해 본 결과 여전히 제가 회사에서 퇴사처리가 안된 상태였습니다.

4대보험 역시 직장가입자로 해서 자격상실이 되지 않고 있었구요. 국민연금이 2월부터 6월까지 5개월치(72,000원 * 5) 36만원이 미납이 된 상태구요, 건강보험도 2월부터 남편 직장의료보험에 부양가족으로 올라갔으면 보험료가 발생하지 않을텐데 여기서도 8만원이 미납된 상태로 나타나고 있습니다.

회사에 연락해서 왜 퇴사처리가 안되었냐고 물어보니 2월과 3월 두달만 쉬었다가 4월에 다시 채용할려는 계획이었는데 코로나로 상황이 어려워져서 채용을 할 수 없는 상황이 되었고 지금의 상황에 이르렀다는 답변을 들었습니다.

뭐, 이왕 벌어진 것에 대해서 따질 생각은 없고, 지금 저는 회사가 빨리 퇴사 처리를 해줘서 실업급여를 신청할 수 있도록 해달라는 게 저의 요구사항입니다. 그리고 미납된 국민연금 같은 경우 회사와 근로자가 반반씩 내야하는 걸로 알고 있는데 미납된 36만원을 회사에 납부해 달라고 요청할 수 있는 것인지요? 아니면 절반인 18만원은 제가 내야 하는 것인지요? 건강보험 미납금은 회사에 요청할 수 있는 것인지요? 답변 부탁드립니다^^