휴직중 타회사 4대보험 가입여부

안녕하세요.
제가 지금 3~4월은 병가였고,회복이 안되어 복직이 어려워 당월에는 개인휴직중입니다. 이번달말에 복직 예정이었는데 아무래도 복직해서도 지금 다니는 회사의 업무를 계속하기엔 무리가 있을것 같아서 다른직종으로 이직 하고자 하여 타회사에서 6월부터 출근을 하라고 한 상태입니다. 
그래서 재직중인 회사에 이번달말로 퇴사얘기를 하고자 하였는데, 이미 회사에서는 다음달까지 휴직 연장 신청 보고가 올라간 상태라고 합니다.
이에 궁금한 사항이 있어서 몇가지 여쭤봅니다.

1. 만약 이대로 퇴사가 안되고 휴직중인 상태에서, 제가 6월부터 타회사로 출근을 할 경우에 4대보험 이중 가입이 가능한가요? 


2. 재직중인 회사에서는 3월부터 현재까지 무급휴직이라서 4대보험료도 안내는 상황인데요, 6월부터 타회사에 4대보험 가입이 되게 되면 그동안 납부하지 않았던 4대보험은 어떻게 되는거며, 타회사에서의 4대보험 납부는 어떻게 되는건가요?


3. 휴직중 상태에서 복직없이 바로 퇴사하게 되면 무급휴직으로 미납부한 4대보험료도 제가 납부하진 않아도되는거죠? (회사에서도 저는 휴직이라서 월급이 없던 상황이라서 아무런 보험료를 내지 않았던것 같아요.)


4. 4대보험 이중가입이 되면 휴직중인 회사에서 타회사에 근무하고 있다는 사실을 알 수가 있나요?


5. 타회사에서 아직 재직중인 회사에 퇴사처리가 안되었다는건 아는데 6월까지 정리가 안되는건 아직 말을 안한상태입니다. 만약 타회사에 얘기했는데 4대보험 이중가입이 어렵다고 할 경우, 6월은 4대보험 신고 없이 근무를 할 수가 있나요? 근로자나 고용주에게 불이익이 있을까요?