퇴사통보 후 겪게될 문제와 계약기간동안 다른 직장에 일하는 것에 대해 질문합니다.

안녕하세요.

저는 어느 요양원에서 근로계약서를 쓰고 일을 하고 있습니다. 근로계약기간은 3/3~ 6/2로 명시되어 있으나 과도한 업무 및 무시로 인해 4/26 당일 근무중 사직서 제출 및 퇴사통지를 하고 집으로 돌아갔습니다. 기존에 근무하는 팀은 4명이 교대로 1명씩 쉬면서 근무하나 최근 코로나 사태로 인하여 1~2명이서 근무를 진행했던 상황입니다. 현재는 다시 4인이 근무합니다. 직원은 43명정도입니다.

1. 1~2명이서도 업무처리는 가능했습니다. 제가 빠져서 3명으로 줄었다고 손해배상을 청구한다는데 가능한건지 궁금합니다.

2. 무단결근으로 인해 고용보험에 어떤 불이익이 있을지 궁금합니다.

3. 아직 계약기간인 5월 초에 다른 직장에서 근무를 시작하려 했을 때 만약 퇴사처리가 안되어 있다면 일을 못하는 건가요?

4. 퇴사처리가 안됬을 경우 고용보험, 국민연금은 어떻게 되는지 궁금합니다. 

5.  제가 이상황에서 법적으로 크게 문제를 겪게될 만할게 있을까요?(소송, 손해배상 등)