학원강사 계약서 미작성 및 해고

안녕하세요 여쭤볼 사항이 있어서 질문을 드립니다.

영어 학원에서 근로자로 일을 한지 3개월이 되었습니다.

계약서 작성을 요구하였음에도 불구하고 여지껏 작성을 하지 않았고 학원이 어려우니 급여가 적은 다른 선생님을 채용할 것 이니 다음 달 초까지 일을 해 달라는 통보를 받았습니다.

학원의 규모는 꽤 큰 편에 비해서 최근 학생들 수가 없긴 없습니다만 상의가 아니라 해고 처리가 되는 것인데 ..

문제는.. 계약서도 작성되지 않았는데 3개월 동안은 인턴이라고 말씀을 하시면서 30일까지만 일 해달라고 하시다가 아차 싶었는지..

급여가 책정되는 다음달 초까지 해달라고 말을 하시네요.. (혹시나 몰라 해고 예고 수당을 알아보니 30일전에 통보하게 되어있는데요 저의 경우는 날짜를 보니 20일전에 통보하였습니다)

이 경우는 노동청에서 어떻게 처리가 되고(계약서 미작성, 해고 건)  강사인 저는 이 갑작스러운 상황에서 어떠한 것들을 보장 받을 수 있을까요?