퇴사처리를 안해주면 입사를 못 하나요?

 2018년 6월8일에 사직서를 제출했습니다.

2018년7월20일에 퇴사하는 것으로 작성했구요.

원래 더 빨리 퇴사하고 싶어 13일에 퇴사하는 것으로 사직서를 제출 했지만,

회사에서 퇴사일을 늦추라고 면담, 면담, 면담을 하여 7월20일로 늦춰지게 됐습니다.

(해당 내용은 메일로 보내어 가지고 있습니다)

이직 자리를 알아보던 중에 좋은 기회가 생겨 이직하려고 하는데

이직하는 회사에서는 7월2일에 출근하길 원합니다.(변경 불가 하다고 합니다.)

그리하여 회사에 7월1일 날짜로 퇴사하겠다고 말하니 퇴사일을 당겨줄 수 없다고 합니다.

현재 퇴사일 7월20일로 작성된 사직서는 수리가 된 상태입니다.

현재 연차가 9개가 남아 연차로 2일부터 사용하고, 나머지 몇 일은 월급과 퇴직금을 깍더라도 감수할 생각입니다.

그런데 회사에서는 여기에 퇴사 처리가 되지 않았기 때문에 새로운 직장에서는 입사처리가 안될꺼다 어차피 못 간다고 하는 입장입니다.

저는 새로운 이직 회사에 입사를 못 하는 건가요?

답변부탁드립니다.

감사합니다.