실업인정대상기간 중 재취업및 퇴사

제가 작년 12월말에 다니던 회사에서 계약 만료로 퇴사를 했습니다. 11개월간 근무를 했기 때문에 실업급여가 나오는 것으로 알고 있습니다.

그런데, 제가 올 1월 18일부터 22일 까지 5일동안 학원에서 근무를 했는데, 처음 구두로 계약시에 수습기간이라 3개월동안은 하루 4시간씩, 시급6500원을 받고 근무를 하기로 했습니다. 근로계약서는 작성하지 않았고, 강사등록도 아직 하지 않은 상태입니다. 강사등록은 절차를 밟는 단계였습니다.

그런데 학원이 저와 좀 맞지 않아서 관두기로 얘기를 드렸는데, 제가 근로계약서를 작성하지 않은 것으로 혹시 신고라도 할까봐인지 사직서를 제출하라고 하셨습니다. 또한 사직서 내용에 근로계약을 하지 않았으며 급여를 받지 않는다는 점을 적어서 보내라고 하셨구요...

저는 실업급여를 받는데 있어서 혹시나 지장이 될까봐 일주일간의 급여를 받지 않겠다고 말씀을 드렸습니다.

근데 애초에 이해가 되지 않는게 근로계약서를 작성하지 않은 상태에서 사직서를 낸다는게 아이러니 한 것 같습니다. 또한 5일(하루4시간씩)에 해당하는 급여를 지급하지 않기로 했는데도 사직서를 제출하는게 이해가 되지 않습니다


혹시 사직서를 제출하는 것이 저에게 불리하게 작용하는건 아닐까 하는 생각이 듭니다.
급여를 지급함으로써 학원에 보조금이 나가기 때문에 급여를 지급하기 위해 사직서를 작성하라고 하는건 아닌지,,,




제가 사직서를 위와같은 내용을 포함하여 보내도 실업급여를 받는 데에 지장이 없나요?

또한 급여를 받아도 실업급여를 받을 수 있는지도 궁금합니다.

그리고 사직서를 써야할 의무가 저에게 있는지도 알려주세요
*5인미만 사업장 입니다
*실업급여 관련한 온라인 강의는 1.14일경에 들었고, 실업급여 인정신청은 오늘(1월 25일)고용센터애서 했습니다